Shelly in neues WLAN

In dem du deinem neuen Router einfach die SSID sowie Wlan Kennwort des alten gibst.

Genau, mehr sollte als Schritt für Schritt tatsächlich nicht nötig sein.

Ggfs. noch schauen, dass die IP Adressen passen, falls ein Endgerät, Shelly, etc. eine feste IP Adresse hatte und der neue Router z.B. ein anderes Subnetz hätte oder der DHCP Bereich ein anderer wäre...

Aber falls du z.B. FritzBox gegen FritzBox tauschst und sonst nicht bewusst IP Adressen oder sowas konfiguriert hast, ist die Antwort von Devil alles, was du tun musst.