Ich habe mal die naturwissenschaftlich mathematischen Zusammenhänge notiert und hoffe, dass sich kein Fehler eingeschlichen hat.
Diese Notizen sind aus Notepad++ hierher kopiert, weshalb weder Tief- noch Hochstellungen und auch keine Schriftgrößenvariationen enthalten sind. Sie sollten trotzdem lesbar sein.
Ich lege hierfür irgendeine stabilisierte Referenzspannung und irgendeinen Reihenwiderstand zum NTC zugrunde. So lassen sich die Gleichungen auch bei einer externen Beschaltung mit anderer Referenzspannung und eigenem R1 verwenden.
Noch einmal die Anschlussbelegung von Allterco:
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Heißleiter am Shelly Plus Add On
Kurzdarstellung ohne Herleitung: Alle Platzhalter außer t und p sind konstante Parameter.
mit t = Temperatur in °C:
t = 1 / (1/Tn + ln((R1/(100*Uref/(p*Uanmax) - 1))/Rn)/B) - 273 | Gl. 4.1
mit Uref = 3,3V und Uanmax = 10V:
t = 1 / (1/Tn + ln((R1/(33/p - 1))/Rn)/B) - 273 | Gl. 4.2
t = Temperatur in °C
Uref = Referenzspannung, hier am Spannungsteiler aus R1 + R(T)
Uan = analoge Eingangsspanng
Uanmax = maximal auswertbare analoge Eingangsspannung
R1 ist der im Shelly Plus Add On vorliegende Widerstand an Uref oder bei externer Beschaltung ein Widerstand zwischen Uref und ANALOG IN.
p = Uan/Uanmax in %
Kenngrößen des eingesetzten Heißleiters, mitunter auch NTC genannt:
Tn = Nenntemperatur, Einheit K
Rn = Nennwiderstand bei Nenntemperatur Tn
B = Temperaturkoeffizient für die Näherungsgleichung (s.u.)
Herleitung obiger Gleichungen
1. T = f(R(T)):
T = absolute Temperatur am bzw. im Heißleiter, Einheit K
Tn = Nenntemperatur, Einheit K
Rn = Nennwiderstand bei Nenntemperatur Tn
R(T) = Widerstand bei der Temperazur T
B = Temperaturkoeffizient für die Näherungsgleichung (s.u.)
R1 ist der im Shelly Plus Add On vorliegende Widerstand an Uref oder bei externer Beschaltung ein Widerstand zwischen Uref und ANALOG IN.
R(T) = Rn * e ^ B*(1/T - 1/Tn) | Näherungsgleichung
<=> R(T)/Rn = e ^ B*(1/T - 1/Tn)
<=> ln(R(T)/Rn) = B*(1/T - 1/Tn)
<=> ln(R(T)/Rn)/B = 1/T - 1/Tn
<=> 1/T = 1/Tn + ln(R(T)/Rn)/B
<=> T = 1 / (1/Tn + ln(R(T)/Rn)/B) | Gl. 1.1
2. Uan = f(R(T)):
Uan = analoge Eingangsspannung
Uref = Referenzspannung, hier am Spannungsteiler aus R1 + R(T)
R1 ist unbekannt, kann aber ermittelt werden
Uref/Uan = (R(T) + R1)/R(T) = R(T)/R(T) + R1/R(T) = 1 + R1/R(T)
<=> R1/R(T) = Uref/Uan - 1
<=> 1/R(T) = (Uref/Uan - 1)/R1
<=> R(T) = R1/(Uref/Uan - 1) | Gl. 2.1
3. Gl. 2.1 eingesetzt in Gl. 1.1 liefert T = f(Uan):
T = 1 / (1/Tn + ln((R1/(Uref/Uan - 1))/Tn)/B)
<=> T = 1 / (1/Tn + ln((R1/(Uref/Uan - 1))/Rn)/B) | Gl. 3.1
4. T = f(Uref/Uan), hier sind die Prozentwerte sofort nutzbar
Uanmax = maximal auswertbare analoge Eingangsspannung
p sei das Verhältnis aus Uan/Uanmax, welches theoretisch zwischen 0% und 100% variieren kann.
k = Uref/Uanmax <=> Uanmax = Uref/k <=> p = Uan/Uref/k = k*Uan/Uref
Mit Uanmax = 10V und Uref = 3,3V ist p = Uan/10V = 0,33*Uan/Uref <=> Uref/Uan = k/p = 0,33/p = Uref/(p*Uanmax)
Gl. 3.1 ist äquivalent zu
T = 1 / (1/Tn + ln((R1/(Uref/(p*Uanmax) - 1))/Rn)/B)
mit p in %:
T = 1 / (1/Tn + ln((R1/(100*Uref/(p*Uanmax) - 1))/Rn)/B)
Darin sind alle Werte außer T und p Konstante.
mit t = Temperatur in °C:
t = T - 273 = 1 / (1/Tn + ln((R1/(100*Uref/(p*Uanmax) - 1))/Rn)/B) - 273 | Gl. 4.1, Hier ist R1 irgendein Widerstand zwischen Uref und ANALOG IN.
mit Uref = 3,3V und Uanmax = 10V:
t = 1 / (1/Tn + ln((R1/(33/p - 1))/Rn)/B) - 273 | Gl. 4.2
Gleichung 4.1 ist die allgemeingültige Gleichung, die auch für eine externe Beschaltung gilt.
Es ist erkennbar, dass jeglicher Wunsch nach einem linearen (proportionalen) Zusammenhang keine reale Grundlage hat.