Die 2x2 Drähte, wo du die 15,8V gemessen hast, kannst du so nicht zur Spannungsversorgung nutzen, auch nicht mit Gleichrichter. Da diese Drähte am Taster angeschlossen waren, müssen sie kurzgeschlossen werden, um den Türöffner zu betätigen. Du misst also die Leerlaufspannung über den TÖ. Evtl. könntest du ein Adernpaar auftrennen, so dass du einen weiteren Draht erhältst. Dadurch hast du aber nur noch den halben Querschnitt für den TÖ zur Verfügung, das hat schon seinen Grund, dass die Adern zusammengefasst wurden. Ein TÖ genehmigt sich gerne mal etwas mehr Strom...
Das könnte dann auch gleich zum nächsten Problem führen, wenn der TÖ betätigt wird, wird die Spannung einbrechen. Zusätzlich zur Gleichrichtung brauchst du dann auch noch einen dicken Pufferelko. Beim Abschalten des TÖ kann es durch Induktionsspannungen zu unerwünschten Nebenwirkungen kommen, evtl bootet der Shelly dann neu...
Lange Rede, kurzer Sinn, am sinnvollsten suchst du dir die Stelle (Abzweigdose?), wo die Komponenten (Taster, Versorgung, TÖ) verklemmt sind und setzt den Shelly dorthin. Dann am besten mit 230VAC-Versorgung, allerdings dann nicht den Shelly 1 Gen1 verwenden, es muss, der Sicherheit wegen, dann mindestens Gen2 sein.
Alternativ kannst du den alten Shelly auch mit 12VDC aus einem Netzteil versorgen...
Edit: Zu lange getextet, da war funkenwerner schneller...